CAPÍTULO 8: Preguntas de investigación acerca de relaciones entre variables

Presentación del problema 1

Neidert et al. (2016) estudiaron la relación entre las mediciones de la composición corporal: actividad del DPP-IV plasmático, grasa ginoide, BMI y masa magra. Reclutaron a 111 sujetos de la Universidad de Auburn (40 hombres y 71 mujeres) y recopilaron las variables de composición corporal para el estudio.

• El artículo completo se puede encontrar aquí: Neidert LE, Wainright KS, Zheng C, Babu JR, Kluess HA: Plasma dipeptidyl peptidase IV activity and measures of body composition in apparently healthy people. Heliyon 2016;2:e00097.

• https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2016.e00097

• El archivo de datos se puede descargar en el siguiente enlace: Neidert LE, Wainright KS, Zheng C, Babu JR, Kluess HA: Plasma dipeptidyl peptidase IV activity and measures of body composition in apparently healthy people. Dryad Digital Repository 2016.

• https://doi.org/10.5061/dryad.2680t

Presentación del problema 2

Pereira et al. (2015) recopilaron datos de 145 pacientes en una UCI mixta para adultos para estudiar la precisión de los dispositivos utilizados para medir los niveles de glucosa en sangre a la cabecera de la cama. Probaron: Precision PCx, Accu-chek Advantage II (arterial), Accucheck Advantage II (punción digital) y Accu-check Advantage II (venoso). Utilizaron métodos de regresión para evaluar la precisión de cada uno en comparación con el estándar de oro del análisis de sangre arterial del laboratorio central. El artículo completo se puede encontrar en:

• Pereira AJ, Corrêa TD, de Almeida FP, et al.: Inaccuracy of venous point-of-care glucose measurements in critically ill patients: a cross-sectional study. PLOS ONE 2015;10(6):e0129568.

• https://doi.org/10.1371/journal.pone.0129568

• Se puede acceder al archivo de datos del estudio aquí:

• Pereira AJ, Corrêa TD, de Almeida FP, et al.: Inaccuracy of venous point-of-care glucose measurements in critically ill patients: a cross-sectional study. Dryad Digital Repository 2015.

• https://doi.org/10.5061/dryad.sr7c7

En el capítulo 3 se presentaron métodos para describir la asociación o relación entre dos variables. En este capítulo, se revisan estos conceptos y se ampliará la idea para predecir el valor de una característica a partir de la otra. También se presentarán los procedimientos estadísticos utilizados para probar si una relación entre dos características es significativa. Dos distribuciones de probabilidad introducidas anteriormente, la distribución t y la distribución chi-cuadrada, pueden usarse para pruebas estadísticas de correlación y regresión. Como resultado, te complacerá saber que gran parte del material de este capítulo te resultará familiar.

Cuando el objetivo es simplemente establecer una relación (o asociación) entre dos medidas, como en estos estudios, el coeficiente de correlación (presentado en el cap. 3) es la estadística más utilizada. Recuerda que la correlación es una medida de la relación lineal entre dos variables medidas en una escala numérica.

Además de establecer una relación, los investigadores a veces quieren predecir una variable de resultado, dependiente o de respuesta a partir de una variable independiente o explicativa. Generalmente, la característica explicativa es la que se presenta primero o es más fácil o menos costosa de medir. En este caso se utiliza el método estadístico de regresión lineal; técnica que implica determinar una ecuación para predecir el valor del resultado a partir de los valores de la variable explicativa. Una de las principales diferencias entre correlación y regresión es el propósito del análisis; que puede ser, simplemente, describir una relación, o bien, predecir un valor. También ocurren varias similitudes importantes, incluida la relación directa entre el coeficiente de correlación y el coeficiente de regresión. Se requieren muchos de los mismos supuestos para la correlación y la regresión, y ambos miden el alcance de una relación lineal entre las dos características.

La figura 8–1 ilustra varios diagramas de dispersión hipotéticos de datos para demostrar la relación entre el tamaño del coeficiente de correlación r y la forma del diagrama de dispersión. Cuando la correlación es cercana a cero, como en la figura 8–1E, el patrón de puntos graficados es algo circular. Cuando el grado de relación es pequeño, el patrón se parece más a un óvalo, como en las figuras 8–1D y 8–1B. A medida que el valor de la correlación se acerca a +1 o −1, como en la figura 8–1C, la gráfica tiene una forma larga y estrecha; en +1 y −1, y las observaciones caen directamente sobre una línea, como para r = +1.0 en la figura 8–1A.

La gráfica de dispersión de la figura 8–1F muestra una situación en la que existe una relación fuerte, pero no lineal. Por ejemplo, con temperaturas < 10 C y hasta 15 C, una fibra nerviosa fría descarga pocos impulsos; a medida que aumenta la temperatura, también lo hace el número de impulsos por segundo, hasta que la temperatura alcanza unos 25 ° C. A medida que la temperatura aumenta más allá de los 25 ° C, el número de impulsos por segundo disminuye una vez más, hasta que cesan entre los 40 C y los 45 C. El coeficiente de correlación, sin embargo, mide solo una relación lineal y tiene un valor cercano a cero en esta situación.

Una de las razones para producir diagramas de dispersión de datos como parte del análisis inicial es identificar relaciones no lineales cuando ocurren. De lo contrario, si los investigadores calculan el coeficiente de correlación sin examinar los datos, pueden pasar por alto una relación fuerte, pero no lineal, como la que existe entre la temperatura y el número de impulsos fríos de las fibras nerviosas.

Cálculo del coeficiente de correlación

De utiliza el estudio de Neidert et al. (2016) para ampliar nuestra comprensión de la correlación. Supóngase que cualquiera que esté interesado en calcular realmente el coeficiente de correlación utilizará un programa de computadora, como lo hacemos en este capítulo. Para un ejemplo detallado de los cálculos, consulta el capítulo 3, en la sección titulada “Descripción de la relación entre dos características” y el estudio de Bos-Touwen y asociados (2015).

Recuerda que la fórmula para el coeficiente de correlación producto-momento de Pearson, simbolizado por r, es:

donde X representa la variable independiente e Y la variable de resultado.

Un primer paso muy recomendable para observar la relación entre dos características numéricas es examinar la relación gráficamente. La figura 8–2 es un diagrama de dispersión de los datos, con el índice de masa corporal (BMI) en el eje X y el porcentaje de grasa corporal (X..Grasa) en el eje Y. Se observa en la figura 8–2 que existe una relación positiva entre estas dos características: los valores pequeños para el BMI se asocian con valores pequeños para el porcentaje de grasa corporal. La pregunta de interés es si la relación observada es estadísticamente significativa.

El alcance de la relación se puede encontrar calculando el coeficiente de correlación. Usando un programa estadístico, la correlación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es 0.42, lo que indica una fuerte relación entre estas dos medidas. Usa R para confirmar nuestros cálculos. Además, consulta el capítulo 3, en la sección “Descripción de la relación entre dos características”, para una revisión de las propiedades del coeficiente de correlación.

Interpretación del tamaño de r

El tamaño de la correlación requerida para la significación estadística está relacionado con el tamaño de la muestra. Con una muestra muy grande de sujetos (p. ej., 2000), incluso las correlaciones pequeñas, como 0.06, son significativas. Una mejor manera de interpretar el tamaño de la correlación es considerar lo que nos dice sobre la fuerza de la relación.

El coeficiente de determinación

El coeficiente de correlación se puede elevar al cuadrado para formar el estadístico llamado coeficiente de determinación. Para los sujetos del estudio de Neidert et al. (2016), el coeficiente de determinación es (0.42)², o 0.18. Esto significa que el 18 % de la variación en los valores de una de las medidas, como el porcentaje de grasa corporal, puede explicarse si se conoce el BMI. Este concepto se demuestra en los diagramas de Venn de la figura 8–3. Para el diagrama de la izquierda, r² = 0.25; por lo que 25 % de la variación en A se explica al conocer B (o viceversa). El diagrama del medio muestra r² = 0.50, y el de la derecha representa r² = 0.80.

El coeficiente de determinación nos dice qué tan fuerte es realmente la relación. En la literatura sobre salud, también se presentan comúnmente los límites de confianza o los resultados de una prueba estadística para determinar la significancia del coeficiente de correlación.

La prueba t para la correlación

El símbolo del coeficiente de correlación en la población (el parámetro de población) es ρ (letra griega minúscula rho). En una muestra aleatoria, ρ se estima mediante r. Si se seleccionan varias muestras aleatorias del mismo tamaño de una población dada y se calcula el coeficiente de correlación r para cada una, se espera que r varíe de una muestra a otra, pero siga algún tipo de distribución sobre el valor de la población ρ. Desafortunadamente, la distribución muestral de la correlación no se comporta tan bien como la de la media, que normalmente se distribuye para muestras grandes.

Parte del problema es el efecto techo cuando la correlación se acerca a −1 o +1. Si el valor del parámetro de población es, aproximadamente, 0.8, los valores de la muestra pueden exceder de 0.8 y llegar hasta 1.0, pero pueden ser inferiores a 0.8 y llegar hasta −1.0. El valor máximo de 1.0 actúa como un techo, evitando que los valores de la muestra varíen tanto por encima de 0.8 como por debajo de él, y el resultado es una distribución sesgada. Sin embargo, cuando se hipotetiza que el parámetro de población es cero, los efectos de techo en +1 y −1 son iguales, y los valores de la muestra se distribuyen aproximadamente de acuerdo con la distribución t, que puede usarse para probar la hipótesis de que el valor verdadero del parámetro de población ρ es igual a cero. Se ha encontrado que la siguiente expresión matemática que involucra el coeficiente de correlación, a menudo llamada razón t, tiene una distribución t con n −2 grados de libertad:

Usemos esta razón t para probar si el valor observado de r = 0.42 es evidencia suficiente con 109 observaciones para concluir que el verdadero valor poblacional de la correlación ρ es diferente de cero.

• Paso 1: H₀: No existe relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal; o, la verdadera correlación es cero: ρ = 0.

  • H₁: Existe una relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal; o, la verdadera correlación no es cero: ρ ≠ 0.

• Paso 2: Debido a que la hipótesis nula es una prueba de si ρ es cero, la razón t puede usarse cuando se cumplen los supuestos de correlación (consulte la sección “Supuestos en correlación”).

• Paso 3: Usemos α = 0.01 para este ejemplo.

• Paso 4: Los grados de libertad son n − 2 = 111 − 2 = 109. El valor de la distribución t con 109 grados de libertad que divide el área en el 99 % central y el 1 % superior e inferior es aproximadamente 2.617 (usando el valor para 120 df en el cuadro A–3). Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula de correlación cero si (el valor absoluto de) el valor observado de t es mayor que 2.617.

• Paso 5: el cálculo es:

  $t=0.421071−0.422=4.79$

• Paso 6: El valor observado de la relación t con 109 grados de libertad es 4.79, que es mayor que el valor crítico de 2.617. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula de correlación cero y se concluye que la relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es lo suficientemente grande como para concluir que estas dos variables están asociadas.

Transformación z de fisher para probar la correlación

Los investigadores generalmente quieren saber si ρ = 0, y esta prueba se puede realizar fácilmente con programas de computadora. Sin embargo, en ocasiones, el interés radica en si la correlación es igual a un valor específico distinto de cero. Por ejemplo, considera una prueba de diagnóstico que proporcione valores numéricos precisos, pero que sea invasiva y algo riesgosa para el paciente. Si alguien desarrolla un procedimiento de prueba alternativo, es importante demostrar que el nuevo procedimiento es tan preciso como la prueba en uso actual. El enfoque consiste en seleccionar una muestra de pacientes y realizar tanto la prueba actual como el nuevo procedimiento en cada paciente y luego calcular el coeficiente de correlación entre los dos procedimientos de prueba.

Se puede realizar una prueba de hipótesis para mostrar que la correlación es mayor que un valor dado, o se puede calcular un intervalo de confianza sobre la correlación observada. En cualquier caso, se usa un procedimiento llamado transformación z de Fisher para probar cualquier hipótesis nula sobre la correlación, así como para formar intervalos de confianza.

Para usar la prueba exacta de Fisher, primero se transforma la correlación y luego se usa la distribución normal estándar (z). Se necesita transformar la correlación porque, como ya se mencionó, la distribución de los valores muestrales de la correlación está sesgada cuando ρ ≠ 0. Aunque este método es un poco complicado, en realidad es más flexible que la prueba t, porque nos permite probar cualquier hipótesis nula, no simplemente que la correlación sea cero. La transformación z de Fisher fue propuesta por el mismo estadístico (Ronald Fisher) que desarrolló la prueba exacta de Fisher para tablas de contingencia 2 × 2 (discutida en el capítulo 6).

La transformación z de Fisher es:

donde ln representa el logaritmo natural. El cuadro A–6 da la transformación z para diferentes valores de r, por lo que en realidad no se necesita la fórmula. Con muestras de tamaño moderado, esta transformación sigue una distribución normal y se puede utilizar la siguiente expresión para la prueba z:

Para ejemplificar la transformación z de Fisher para probar la significación de ρ, se evalúa la relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal (Neidert et al., 2016). La correlación observada entre estas dos medidas fue de 0.42. Neidert et al. (2016) pueden haber esperado una correlación considerable entre estas dos medidas; supóngase que quieren saber si la correlación es significativamente mayor que 0.25. Una prueba de una cola de la hipótesis nula de que ρ ≤ 0.25, que esperan rechazar, se puede realizar de la siguiente manera.

• Paso 1: H₀: La relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es ≤ 0.25; o la verdadera correlación ρ ≤ 0.25.

  • H₁: La relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es > 0.25; o la verdadera correlación ρ > 0.25.

• Paso 2: La transformación z de Fisher se puede usar con el coeficiente de correlación para probar cualquier hipótesis.

• Paso 3: Se utiliza nuevamente α = 0.01 para este ejemplo.

• Paso 4: La hipótesis alternativa especifica una prueba de una cola. El valor de la distribución z que divide el área en el 99 % inferior y el 1 % superior es aproximadamente 2.326 (del cuadro A–2). Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula de que la correlación es ≤ 0.25 si el valor observado de z es > 2.326.

• Paso 5: El primer paso es encontrar los valores transformados para r = 0.42 y ρ = 0.25 del cuadro A–6; estos valores son 0.448 y 0.255, respectivamente. Entonces, el cálculo para la prueba z es:

  $z=z(0.42)−z(0.25)1/(111−3)z=0.448−0.2550.096z=2.01$

• Paso 6: El valor observado del estadístico z, 2.01, no excede 2.358. La hipótesis nula de que la correlación es 0.25 o menos no se rechaza.

Intervalo de confianza para la correlación

Una ventaja importante de la transformación z de Fisher es que se pueden formar intervalos de confianza. El valor transformado de la correlación se usa para calcular los límites de confianza de la manera habitual, y luego se transforman de nuevo a los valores correspondientes al coeficiente de correlación.

Para ejemplificar, se calcula un intervalo de confianza de 95 % para el coeficiente de correlación 0.42 en Neidert et al. (2016). Se usa la transformación z de Fisher de 0.42 = 0.448 y la distribución z en el cuadro A–2 para encontrar el valor crítico para el 95 %. El intervalo de confianza es:

Transformar los límites 0.260 y 0.636 de nuevo a correlaciones utilizando el cuadro A–6 al revés da aproximadamente r = 0.25 y r = 0.56 (usando valores conservadores). Por lo tanto, tenemos un 95 % de confianza en que el valor real de la correlación en la población está contenido dentro de este intervalo. R tiene una función que calcula un intervalo de confianza para el coeficiente de correlación. La función da como resultado el rango de 0.26 a 0.56, que está muy cerca de la aproximación calculada usando el cuadro A–6.

Supuestos de la correlación

Los supuestos necesarios para sacar conclusiones válidas sobre el coeficiente de correlación son que la muestra se seleccionó al azar y las dos variables, X e Y, varían juntas en una distribución conjunta que se distribuye normalmente, llamada distribución normal bivariada. Sin embargo, el hecho de que cada variable se distribuya normalmente cuando se examina por separado no garantiza que, en conjunto, tengan una distribución normal bivariada. Hay algunas orientaciones disponibles: si alguna de las dos variables no se distribuye normalmente, el coeficiente de correlación del momento - producto de Pearson no es el método más apropiado. En cambio, una o ambas variables se pueden transformar para que sigan más de cerca una distribución normal, como se revisa en el capítulo 5, o se puede calcular la correlación de rango de Spearman. Este tema se analiza en la sección “Otras medidas de correlación”.

En ocasiones, los investigadores quieren saber si existe una diferencia entre dos coeficientes de correlación. Aquí hay dos casos específicos: 1) comparar las correlaciones entre las mismas dos variables que se han medido en dos grupos independientes de sujetos y 2) comparar dos correlaciones que involucran una variable en común en el mismo grupo de individuos. Estas situaciones no son extremadamente comunes y no siempre están incluidas en los programas estadísticos.

Comparación de correlaciones en dos grupos independientes

La transformación z de Fisher se puede utilizar para probar hipótesis o formar intervalos de confianza sobre la diferencia entre las correlaciones entre las mismas dos variables en dos grupos independientes. Los resultados de tales pruebas también se denominan correlaciones independientes. Por ejemplo, revisando los datos del estudio de Neidert et al. (2016), se puede comparar la correlación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal por género (véase fig. 8–4).

La correlación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es 0.737 para las 71 mujeres y 0.508 para los 40 hombres. En esta situación, el valor del segundo grupo reemplaza z (ρ) en el numerador de la prueba z que se muestra en la sección anterior, y l/(n − 3) se encuentra para cada grupo y se suma antes de sacar la raíz cuadrada en el denominador. La estadística de prueba es:

Para ilustrar, los valores de z de las tablas de transformación z de Fisher (A–6) para 0.737 y 0.508 son aproximadamente 0.951 y 0.563 (con redondeo), respectivamente. Tenga en cuenta que la transformación z de Fisher es la misma, independientemente de si la correlación es positiva o negativa. Con estos valores, se obtiene:

Suponiendo que elegimos el nivel de significancia tradicional de 0.05, el valor del estadístico de prueba, 1.89, es menor que el valor crítico, 1.96, por lo que no se rechaza la hipótesis nula de correlaciones iguales. Decidimos que la evidencia es insuficiente para concluir que la relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es diferente para hombres y mujeres. ¿Cuál es una posible explicación de la falta de significación estadística? Es posible que no exista diferencia en las relaciones entre estas dos variables en la población. Sin embargo, cuando los tamaños de muestra son pequeños, como lo son en este estudio, siempre es aconsejable tener en cuenta que el estudio puede tener poco poder estadístico.

Comparación de correlaciones con variables en común en el mismo grupo

La segunda situación ocurre cuando la pregunta de investigación involucra correlaciones que contienen la misma variable (también llamadas correlaciones dependientes). Por ejemplo, una pregunta muy natural para Pereira et al. (2015) era si uno de los dispositivos de glucosa junto a la cama estaba más correlacionado con el valor del laboratorio central arterial, considerado el estándar de oro, que los otros dos. Si es así, este sería un producto que tal vez deseen recomendar a los pacientes para que lo usen en casa. Para ejemplificar, se compara la glucosa en sangre con la medida arterial de Accu-chek y el valor arterial del laboratorio central (r_xy = 0.57) con la glucosa en sangre con la punción digital Accu-chek y el valor arterial de laboratorio central (r_xz = 0.87).

Existen varias fórmulas para probar la diferencia entre dos correlaciones dependientes. Aquí se presenta la más simple, desarrollada por Hotelling (1940) y descrita por Glass y Stanley (1970). Mostraremos los cálculos para este ejemplo pero, como siempre, sugerimos que se use un programa de computadora. La fórmula sigue la distribución t con n − 3 grados de libertad; parece bastante intimidante y requiere el cálculo de varias correlaciones:

Se designa el valor de laboratorio central arterial como X, Accu-chek arterial como Y y la punción digital Accu-chek como Z. Por lo tanto, queremos comparar r_xy con r_xz. Ambas correlaciones involucran la X, o valor de laboratorio central arterial, por lo que estas correlaciones son dependientes. Para usar la fórmula, también se necesita calcular la correlación entre el valor arterial de Accu-chek arterial y el de la punción digital Accu-chek, que es r_yz = 0.67. El cuadro 8–1 muestra las correlaciones necesarias para esta fórmula.

Los cálculos son:

A estas alturas ya se sabe que la diferencia entre estas dos correlaciones es estadísticamente significativa porque el valor observado de t es −3.22 y | −3.22 | = 3.22 es mayor que el valor crítico de t con 142 grados de libertad, 1.97.

Otras medidas de correlación se encuentran a menudo en la literatura médica. La rho de Spearman, la correlación de rango introducida en el capítulo 3, se usa con datos ordinales o en situaciones en las que las variables numéricas no se distribuyen normalmente. Cuando una pregunta de investigación involucra una variable numérica y una nominal, se usa una correlación llamada correlación punto-biserial. Con datos nominales, se puede utilizar la razón de riesgo o kappa (κ), que se analizó en el capítulo 5.

Rho de Spearman

Recuerde que el valor del coeficiente de correlación está marcadamente influenciado por valores extremos y, por lo tanto, no proporciona una buena descripción de la relación entre dos variables cuando sus distribuciones están sesgadas o contienen valores atípicos. Por ejemplo, considere las relaciones entre los diversos dispositivos de medición de glucosa en sangre de la presentación del problema 2. Para ejemplificar, se toman los primeros 25 sujetos de este estudio, enumerados en el cuadro 8–2.

Es difícil saber si las observaciones se distribuyen normalmente sin mirar los gráficos de los datos. Algunos programas estadísticos tienen rutinas para graficar valores contra una distribución normal para ayudar a los investigadores a decidir si se debe utilizar un procedimiento no paramétrico. En la figura 8–5 se muestra una gráfica de probabilidad normal para la medición de la punción digital en Accu-chek. Utiliza R para producir gráficos similares para otras medidas de dispositivo.

Cuando las observaciones se trazan en un gráfico, como en la Figura 8–5, parece que los datos en realidad están algo sesgados. Como se indica en el capítulo 3, un método simple para tratar el problema de las observaciones extremas en correlación es ordenar los datos por rango y luego recalcular la correlación en rangos para obtener la correlación no paramétrica llamada rho de Spearman o correlación de rango. Para ejemplificar este procedimiento, se toman los datos sobre los primeros 25 sujetos en el estudio sobre dispositivos de glucosa en sangre (presentación del problema 2). El interés se centra en la correlación entre el valor de laboratorio central arterial y el dispositivo de punción digital Accu-chek, que es de 0.87, según se vio en la sección “Comparación de correlaciones con variables en común en el mismo grupo”.

El cuadro 8–3 ejemplifica los rangos de las lecturas diastólicas en los primeros 25 sujetos. Ten en cuenta que cada variable se clasifica por separado; cuando se producen empates, se utiliza el promedio de los rangos de los valores empatados.

Los rangos de las variables se utilizan en la ecuación para el coeficiente de correlación, y el cálculo resultante da la correlación de rango de Spearman (r_S), también llamada rho de Spearman:

donde R_x es el rango de la variable X, R_y es el rango de la variable Y y R_x y R_y son los rangos medios para las variables X e Y, respectivamente. La correlación de rango r_s también se puede calcular usando otras fórmulas, pero este procedimiento aproximado es bastante bueno (Conover e Iman, 1981).

Al calcular R_s para las observaciones clasificadas en el cuadro 8–3 se obtiene:

El valor de r_s es menor que el valor de la correlación de Pearson; esto puede ocurrir cuando la distribución bivariada de las dos variables no es normal. La prueba t, como se mostró para la correlación de Pearson, se puede utilizar para determinar si la correlación de rango de Spearman es significativamente diferente de cero. Por ejemplo, el siguiente procedimiento prueba si el valor de rho de Spearman en la población, simbolizado ρ_S (letra griega rho con el subíndice S que denota Spearman), difiere de cero.

• Paso 1: H₀: el valor poblacional de la rho de Spearman es cero; es decir, ρ_S = 0.

  • H₁: el valor poblacional de la rho de Spearman no es cero; es decir, ρ_S ≠ 0.

• Paso 2: debido a que la hipótesis nula es una prueba de si ρ_S es cero, se puede usar la razón t.

• Paso 3: se utiliza α = 0.05 para este ejemplo.

• Paso 4: los grados de libertad son n − 2 = 25 − 2 = 23. El valor de la distribución t con 23 grados de libertad, que divide el área en el 95 % central y el 2½ % superior e inferior, es 2.069 (Cuadro A –3), por lo que se rechaza la hipótesis nula si (el valor absoluto de) el valor observado de t es mayor que 2.069.

• Paso 5: el cálculo es:

  $t=r(n−2)1−r2t=0.7723−21−0.772t=5.53$

• Paso 6: El valor observado de la relación t con 23 grados de libertad es 5.53, mayor que 2.069, por lo que se rechaza la hipótesis nula y concluimos que hay suficiente evidencia de que existe una correlación no paramétrica entre las mediciones de glucosa en sangre realizadas por la prueba de laboratorio y el dispositivo de punción digital.

Por supuesto, si los investigadores solo quieren probar si la rho de Spearman es mayor que cero (si existe una relación significativamente positiva) pueden usar una prueba de una cola. Para una prueba de una cola con α = 0.05 y 23 grados de libertad, el valor crítico es 1.714 y la conclusión es la misma.

Para resumir, la rho de Spearman es apropiada cuando los investigadores quieren medir la relación entre: 1) dos variables ordinales, o 2) dos variables numéricas cuando una o ambas no están distribuidas normalmente y los investigadores optan por no utilizar una transformación de datos (como tomando el logaritmo). La correlación de rango de Spearman es apropiada especialmente cuando ocurren valores atípicos entre las observaciones.

Intervalo de confianza para la razón de momios y el riesgo relativo

En el capítulo 3 se introdujo el riesgo relativo (o razón de riesgo) y la razón de momios como medidas de relación entre dos características nominales. Desarrolladas por epidemiólogos, estas estadísticas se utilizan para estudios que examinan los riesgos que pueden provocar enfermedades. Para discutir la razón de momios, recuerde el estudio que se analizó en el capítulo 3 por Billioti de Gage et al. (2014) que examinó el uso de benzodiazepina. Los datos de este estudio se dieron en el capítulo 3, cuadro 3–21. Se calcula la razón de momios como 1.5, lo que significa que un sujeto del grupo de las benzodiazepinas tiene 1.5 veces más probabilidades de desarrollar la enfermedad de Alzheimer que un sujeto sin exposición. Es importante saber si el aumento del riesgo es estadísticamente significativo.

La significación se puede determinar de varias formas. Por ejemplo, para probar la significación de la relación entre el tratamiento (exposición a la benzodiazepina) y el desarrollo de la enfermedad de Alzheimer, los investigadores pueden usar la prueba de chi-cuadrada discutida en el capítulo 6. La prueba de chi-cuadrada para este ejemplo se deja como un ejercicio (véase Ejercicio 2). También está disponible una prueba de chi-cuadrada alternativa, basada en el logaritmo natural de la razón de momios, que da como resultado valores cercanos a la prueba de chi-cuadrada explicada en el capítulo 6 (Fleiss, 1999).

Con mayor frecuencia, los artículos de la literatura médica utilizan intervalos de confianza para las razones de riesgo o las razones de momios. Billioti de Gage et al. reportaron un intervalo de confianza de 95 % para la razón de momios de (1.36–1.69). A continuación se explica cómo encontraron este intervalo de confianza.

Encontrar intervalos de confianza para las razones de momios es un poco más complicado de lo habitual porque estas razones no se distribuyen normalmente, por lo que los cálculos requieren encontrar logaritmos y antilogaritmos naturales. La fórmula para un intervalo de confianza de 95 % para la razón de momios es:

donde exp denota la función exponencial o antilogaritmo del logaritmo natural ln, y a, b, c, y d son las celdas de una tabla de 2 × 2 (véase el cuadro 6–9, del capítulo 6). El intervalo de confianza para la razón de momios de riesgo de enfermedad de Alzheimer para sujetos expuestos a benzodiazepina del cuadro 3–19 es:

$exp[ ln(1.51)±1.961894+12873+1902+14311 ]=exp[0.412±1.960.003]=1.36a1.68$

Este intervalo contiene el valor de la verdadera razón de momios con 95 % de confianza. Si los momios son los mismos en cada grupo, el valor de la razón de momios es aproximadamente 1, lo que indica riesgos similares en cada grupo. Debido a que el intervalo no contiene 1, se puede concluir que existe evidencia suficiente para concluir que el riesgo de enfermedad de Alzheimer aumenta con la exposición a las benzodiazepinas.

Para ejemplificar el intervalo de confianza para el riesgo relativo, nos remitimos al estudio sobre los síntomas de la gripe de Anderson et al. (2018), resumido en el capítulo 3, y el cuadro 3–17. Recuérdese que el riesgo relativo de un diagnóstico de gripe en pacientes vacunados contra la gripe en los últimos 12 meses fue de 0.616. El intervalo de confianza del 95 % para el valor real del riesgo relativo también incluye logaritmos:

Nuevamente, los valores de a, b, c, y d son las celdas de la tabla 2 × 2 mostrada en el cuadro 6–9. Aunque es posible incluir una corrección de continuidad para el riesgo relativo o la razón de momios, no se suele hacer. Al sustituir los valores del cuadro 3–19, el intervalo de confianza de 95 % para un riesgo relativo de 0.616 es:

El intervalo de confianza de 95 % no contiene 1, por lo que la evidencia indica que el uso de una vacuna contra la gripe resultó en un riesgo reducido de diagnóstico de gripe para los pacientes que presentaban síntomas de la enfermedad. Para un análisis detallado y profundo de la razón de momios y sus ventajas y desventajas, consúltese Feinstein (1985, capítulo 20) y Fleiss (1999, capítulo 5); para un análisis de la razón de momios y la razón de riesgo, véase Greenberg et al. (2015, cap. 2).

Hay que recordar que cuando el objetivo es predecir el valor de una característica a partir del conocimiento de otra, el método estadístico utilizado es el análisis de regresión. Este método también se denomina regresión lineal, regresión lineal simple o regresión por mínimos cuadrados. Una breve revisión de la historia de estos términos es interesante y arroja algo de luz sobre la naturaleza del análisis de regresión.

Los conceptos de correlación y regresión fueron desarrollados por Sir Francis Galton, primo de Charles Darwin, quien estudió tanto matemáticas como medicina a mediados del siglo XIX (Walker, 1931). Galton estaba interesado en la herencia y quería entender por qué una población permanece más o menos igual durante muchas generaciones con la descendencia “promedio” parecida a sus padres; es decir, por qué las generaciones sucesivas no se vuelven más diversas. Cultivando guisantes de olor y observando el tamaño medio de las semillas de las plantas parentales de diferentes tamaños, descubrió la regresión, que denominó la “tendencia del tipo media filial ideal al apartarse del tipo paterno, volviendo a lo que puede describirse de manera aproximada y quizás justamente como el tipo ancestral medio”. Este fenómeno se conoce más típicamente como regresión hacia la media. El término “correlación” fue utilizado por Galton en su trabajo sobre la herencia en términos de la “co-relación” entre características tales como la altura de padres e hijos. El matemático Karl Pearson pasó a desarrollar la teoría de la correlación y la regresión, y el coeficiente de correlación lleva su nombre por esta razón.

El término regresión lineal se refiere al hecho de que la correlación y la regresión miden solo una relación de línea recta o lineal entre dos variables. El término “regresión simple” significa que solo se usa una variable explicativa (independiente) para predecir un resultado. En la regresión múltiple, se incluye más de una variable independiente en la ecuación de predicción.

La regresión de mínimos cuadrados describe el método matemático para obtener la ecuación de regresión. Lo importante a recordar es que cuando el término “regresión” se usa solo, generalmente significa regresión lineal basada en el método de mínimos cuadrados. El concepto detrás de la regresión por mínimos cuadrados se describe en la siguiente sección y su aplicación se analiza en la sección siguiente.

Método de mínimos cuadrados

Ya se ha mencionado varias veces en este capítulo la naturaleza lineal del patrón de puntos en un diagrama de dispersión. Por ejemplo, en la figura 8–2, se puede trazar una línea recta a través de los puntos que representan los valores del BMI y el porcentaje de grasa corporal para indicar la dirección de la relación. El método de mínimos cuadrados es una forma de determinar la ecuación de la línea que proporciona un buen ajuste a los puntos.

Para ejemplificar el método, considere la línea recta en la figura 8–6. La geometría elemental se puede utilizar para determinar la ecuación de cualquier línea recta. Si el punto donde la línea cruza o intercepta el eje Y se denota por a y la pendiente de la línea por b, entonces la ecuación es:

La pendiente de la línea mide la cantidad que Y cambia cada vez que X cambia en 1 unidad. Si la pendiente es positiva, Y aumenta a medida que aumenta X; si la pendiente es negativa, Y disminuye a medida que aumenta X; y viceversa. En el modelo de regresión, la pendiente en la población generalmente está simbolizada por β₁, llamado coeficiente de regresión; y β₀ denota la intersección con el eje vertical de la línea de regresión, es decir, β₁ y β₀ son los parámetros de población en la regresión. En la mayoría de las aplicaciones, los puntos no caen exactamente a lo largo de una línea recta. Por esta razón, el modelo de regresión contiene un término de error, e, que es la distancia a la que los valores reales de Y se alejan de la línea de regresión. Poniendo todo esto junto, la ecuación de regresión viene dada por:

Cuando se usa la ecuación de regresión para describir la relación en la muestra, a menudo se escribe como:

Donde Y′ es el símbolo del valor predicho de Y, basado en un valor observado X. Para un valor dado de X, por ejemplo X*, el valor predicho de Y* se encuentra extendiendo una línea horizontal desde la línea de regresión hasta el eje Y como en la figura 8–7. La diferencia entre el valor real de Y* y el valor predicho, e* = Y* − Y*′, se puede utilizar para juzgar qué tan bien se ajusta la línea a los puntos de datos. El método de mínimos cuadrados determina la línea que minimiza la suma de las diferencias verticales cuadradas entre los valores reales y pronosticados de la variable Y; es decir, β₀ y β₁ se determinan de modo que Σ(Y − Y′) se minimice. Por lo tanto, se encuentran las fórmulas para β₀ y β₁*, y en términos de las estimaciones muestrales b y a, estas fórmulas son:

Cálculo de la ecuación de regresión

Suponga que se pretende ajustar una línea de regresión a los datos que se muestran en la figura 8–2. Este modelo podría usarse para predecir el porcentaje de grasa corporal si se conociera el BMI del sujeto.

Antes de calcular la ecuación de regresión para estos datos, se revisa el diagrama de dispersión de la figura 8–2 y se practica en “estimar” el valor del coeficiente de correlación del diagrama (aunque es difícil estimar el tamaño de r con precisión cuando el tamaño de la muestra es pequeño). La figura 8–2 es un diagrama de dispersión con la puntuación del BMI como variable explicativa X y el porcentaje de grasa corporal como variable de respuesta Y. De cálculos anteriores, se sabe que la correlación es 0.42.

Dado que se sabe que la correlación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es positiva, se sabe que la pendiente de la línea de regresión también es positiva. Estos son los términos que se requieren para calcular la pendiente y la intersección de la línea de regresión:

Entonces:

En este ejemplo, se dice que el porcentaje de grasa corporal sufre una regresión en las puntuaciones de BMI, y la ecuación de regresión se escribe como Y′ = 5.15 + 0.97X, donde Y′ es el porcentaje de grasa corporal predicho y X es el BMI observado.

La figura 8–8 muestra la línea de regresión trazada a través de las observaciones. La ecuación de regresión tiene una intersección positiva de +5.15, por lo que teóricamente un paciente con un BMI cero tendría una sensibilidad a la insulina de 5.15, aunque, en el ejemplo presente, no es posible un BMI de cero. La pendiente de +0.97 indica que cada vez que el BMI aumenta en 1, el porcentaje de grasa corporal previsto aumenta en aproximadamente 0.97. Por ejemplo, a medida que el BMI aumenta de 20 a 30, el porcentaje de grasa corporal predicho aumenta de cerca de 24.55 a cerca de 34.25. En la siguiente sección se analiza si la relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal es significativa.

Supuestos e inferencias en regresión

En la sección anterior, se trabajó con una muestra de observaciones en lugar de la población de observaciones. Así como la media muestral $X¯$ es una estimación de la media poblacional μ, la línea de regresión determinada a partir de las fórmulas para a y b en la sección anterior es una estimación de la ecuación de regresión para la población subyacente.

Como en los capítulos 6 y 7, en los que se usaron pruebas estadísticas para determinar qué tan probable era que las diferencias observadas entre dos medias ocurrieran por casualidad, en el análisis de regresión deben realizarse pruebas estadísticas para determinar la probabilidad de cualquier relación observada entre las variables X e Y. Nuevamente, la pregunta se puede abordar de dos maneras: utilizando pruebas de hipótesis o formando intervalos de confianza. Sin embargo, antes de discutir estos enfoques, se analizarán brevemente los supuestos requeridos en el análisis de regresión.

Si se parte de una ecuación de regresión, las observaciones deben tener ciertas propiedades. Por lo tanto, para cada valor de la variable X, se asume que la variable Y tiene una distribución normal, y se asume que la media de la distribución es el valor predicho, Y′. Además, sin importar el valor de la variable X, se supone que la desviación estándar de Y es la misma. Estas suposiciones son como imaginar un gran número de distribuciones normales individuales de la variable Y, todas del mismo tamaño, una para cada valor de X. La suposición de esta variación igual en las Y’ en todo el rango de la X′ se llama homogeneidad u homocedasticidad. Es análogo al supuesto de varianzas iguales (varianzas homogéneas) en la prueba t para grupos independientes, como se revisa en el capítulo 6.

El supuesto de línea recta o lineal requiere que los valores medios de Y correspondientes a varios valores de X caigan en línea recta. Se supone que los valores de Y son independientes entre sí. Esta suposición no se cumple cuando se realizan mediciones repetidas en los mismos sujetos; es decir, la medida de un sujeto en un momento dado no es independiente de la medida de ese mismo sujeto en otro momento. Finalmente, al igual que con otros procedimientos estadísticos, se asume que las observaciones constituyen una muestra aleatoria de la población de interés.

La regresión es un procedimiento robusto y se puede utilizar en muchas situaciones en las que no se cumplen los supuestos, siempre que las mediciones sean bastante confiables y se utilice el modelo de regresión correcto (en el capítulo 10 se analizan otros modelos de regresión). El cumplimiento de los supuestos de regresión generalmente causa menos problemas en experimentos o ensayos clínicos que en estudios observacionales porque la confiabilidad de las mediciones tiende a ser mayor en los estudios experimentales. Sin embargo, se pueden utilizar procedimientos especiales cuando los supuestos se violan gravemente; y como en ANOVA, los investigadores deben buscar el consejo de un estadístico antes de usar la regresión si surgen dudas sobre su aplicabilidad.

El error estándar de la estimación

Las líneas de regresión, como otras estadísticas, pueden variar. Después de todo, la ecuación de regresión calculada para cualquier muestra de observaciones es solo una estimación de la verdadera ecuación de regresión de la población. Si se eligen otras muestras de la población y se calcula una ecuación de regresión para cada muestra, estas ecuaciones variarán de una muestra a otra con respecto tanto a sus pendientes como a sus intersecciones. Una estimación de esta variación se simboliza S_Y·X (y se lee S de y dado x) y se denomina error estándar de regresión o error estándar de la estimación. Se basa en las desviaciones cuadradas de las Y′ pronosticadas con respecto a las Y′ reales, y se encuentra de la siguiente manera:

El cálculo de esta fórmula es bastante tedioso; y aunque existen formas computacionales más fáciles de usar, asumimos que usará un programa de computadora para calcular el error estándar de la estimación. Al probar tanto la pendiente como la intersección, se puede usar una prueba t, y el error estándar de la estimación es parte de la fórmula. También se utiliza para determinar los límites de confianza. Para presentar estas fórmulas y la lógica involucrada en probar la pendiente y la intersección, se ejemplifica la prueba de hipótesis para la intersección y el cálculo de un intervalo de confianza para la pendiente, usando la ecuación de regresión del BMI - porcentaje de grasa corporal.

Inferencia sobre la intersección

Para probar la hipótesis de que la intersección se aleja significativamente de cero, se echa mano del siguiente procedimiento:

• Paso 1: H₀: β₀ = 0 (La intersección es cero)

  • H₁: β₀ ≠ 0 (La intersección no es cero)

• Paso 2: debido a que la hipótesis nula es una prueba de si la intersección es cero, la razón t puede usarse si se cumplen los supuestos. La razón t usa el error estándar de la estimación para calcular el error estándar de la intersección (el denominador de la razón t):

  $t=a−β0SY.X{(1/n)+[X¯2/Σ(X−X¯)2]}$

• Paso 3: se utiliza α igual a 0.05.

• Paso 4: los grados de libertad son n − 2 = 111 − 2 = 109. El valor de la distribución t con 109 grados de libertad que divide el área en el 95 % central y el 5 % superior e inferior combinado es aproximadamente 1.98 (del cuadro A–3). Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula de una intersección igual a cero si (el valor absoluto de) el valor observado de t es > 1.98.

• Paso 5: al seguir el procedimiento; se usa una hoja de cálculo (Microsoft Excel) para encontrar S_Y·X = 7.98 y $Σ(X−X¯)2$ = 1577.02

  $t=5.15−07.982{(1/111)+[23.082/1577.02]}t=5.1523.47t=1.06$

• Paso 6: el valor absoluto de la t observada es 1.06, que no es > 1.98. Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula de una intersección igual a cero. Concluimos que la evidencia es insuficiente para mostrar que la intersección es significativamente diferente de cero para la regresión del porcentaje de grasa corporal sobre el BMI.

Como ya se sabe, también es posible formar límites de confianza para la intersección usando el valor observado y sumando o restando el valor crítico de la distribución t, multiplicado por el error estándar de la intersección.

Inferencias sobre el coeficiente de regresión

En lugar de ejemplificar la prueba de hipótesis para el coeficiente de regresión de la población, encontremos un intervalo de confianza de 95 % para β₁. El intervalo está dado por:

Debido a que el intervalo excluye cero, se puede tener una confianza de 95 % en que el coeficiente de regresión no es cero, pero que está entre 0.57 y 1.37. Dado que el coeficiente de regresión es significativamente mayor que cero, ¿puede el coeficiente de correlación ser igual a cero? (consúltese el ejercicio 2). La relación entre b y r, presentada anteriormente, y el ejercicio 2 debería ser suficiente para probar la equivalencia de los resultados obtenidos al probar la significancia de la correlación y el coeficiente de regresión. De hecho, los autores de la literatura frecuentemente realizan un análisis de regresión y luego informan los valores de P para indicar un coeficiente de correlación significativo.

El resultado del programa de regresión R se muestra en el cuadro 8–4. El programa produce el valor de t y el valor P asociado, así como límites de confianza de 95 %. ¿Coinciden los resultados con los encontrados anteriormente? Para familiarizarse con el uso de la regresión, se sugiere replicar estos resultados utilizando el archivo de datos y R.

Predicción con la ecuación de regresión: valores individuales y medios

Una de las razones importantes para obtener una ecuación de regresión es predecir valores futuros para un grupo de sujetos (o para sujetos individuales). Por ejemplo, un médico puede querer predecir el porcentaje de grasa corporal a partir del BMI para un grupo de participantes en un nuevo régimen de ejercicios. O el médico puede querer predecir el porcentaje de grasa corporal de un paciente en particular. En cualquier caso, la variabilidad asociada con la línea de regresión debe reflejarse en la predicción. El intervalo de confianza del 95 % para una media predicha Y en un grupo de sujetos es:

El intervalo de confianza de 95 % para predecir una sola observación es:

Si se comparan estas dos fórmulas, vemos que el intervalo de confianza que predice una sola observación es más amplio que el intervalo para la media de un grupo de individuos; y se agrega 1 al término de error estándar para el caso individual. Este resultado tiene sentido, porque para un valor dado de X, la variación en las puntuaciones de los individuos es mayor que en las puntuaciones medias de los grupos de individuos. Debe tenerse en cuenta también que el numerador del tercer término en el error estándar es la desviación al cuadrado de X de $X¯$. Por tanto, el tamaño del error estándar depende de qué tan cerca esté la observación de la media; cuanto más cerca está X de su media, más precisa es la predicción de Y. Para valores de X bastante alejados de la media, la variabilidad en la predicción de la puntuación Y es considerable. ¡Por eso es difícil para los economistas y otras personas que desean predecir eventos futuros ser muy precisos!

El cuadro 8–5 muestra los intervalos de confianza de 95 % asociados con el porcentaje medio de grasa corporal pronosticado y el porcentaje de grasa corporal pronosticado para un individuo correspondiente a valores de BMI diferentes. Se puede obtener conocimiento sobre el análisis de regresión al examinar esta tabla. Primero, observe las diferencias de magnitud entre los errores estándar asociados con el porcentaje medio de grasa corporal predicho y los relacionados con el porcentaje de grasa corporal individual: los errores estándar son mucho mayores cuando predecimos valores individuales que cuando predecimos el valor medio. De hecho, el error estándar de los individuos siempre es mayor que el error estándar de las medias debido al 1 adicional en la fórmula. También debe tenerse en cuenta que los errores estándar toman sus valores más pequeños cuando la observación de interés se acerca a la media (BMI de 23.80, en este ejemplo). A medida que la observación se aparta en cualquier dirección de la media, los errores estándar y los intervalos de confianza se vuelven cada vez más grandes, lo que refleja la diferencia al cuadrado entre la observación y la media. Si los intervalos de confianza se trazan como bandas de confianza alrededor de la línea de regresión, están más cerca de la línea en la media de X y se alejan de ella en ambas direcciones a cada lado de $X¯$. La figura 8–9 muestra la gráfica de las bandas de confianza.

El cuadro 8–5 expone otra característica interesante de la ecuación de regresión (la fila en negrita). Cuando se usa la media de X en la ecuación de regresión, la Y′ predicha es la media de Y. Por lo tanto, la línea de regresión pasa por la media de X y la media de Y.

Ahora se puede ver por qué las bandas de confianza sobre la línea de regresión son curvas. El error en la intersección significa que la línea de regresión verdadera puede estar por encima o por debajo de la línea calculada para las observaciones de la muestra, aunque mantiene la misma orientación (pendiente). Por lo tanto, el error en la medición de la pendiente significa que la verdadera línea de regresión puede girar alrededor de $(X¯,Y¯)$ hasta cierto punto. La combinación de estos dos errores da como resultado las bandas de confianza cóncavas, ejemplificadas en la figura 8–9. A veces, los artículos de revistas tienen líneas de regresión con bandas de confianza que son paralelas en lugar de curvas. Estas bandas de confianza son incorrectas, aunque pueden corresponder a errores estándar o a intervalos de confianza en su distancia más estrecha de la línea de regresión.

Comparación de dos líneas de regresión

A veces, los investigadores desean comparar dos líneas de regresión para ver si son iguales. Por ejemplo, los investigadores del problema anterior pueden estar interesados en la relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal para hombres y mujeres. Las líneas de regresión para cada género se muestran en la figura 8–10.

Como puede adivinar, los investigadores a menudo están interesados en comparar líneas de regresión para saber si las relaciones son las mismas en diferentes grupos de sujetos. Cuando se comparan dos líneas de regresión, pueden ocurrir cuatro situaciones, como se muestra en la figura 8–11. En la figura 8–11A, las pendientes de las líneas de regresión son las mismas, pero las intersecciones difieren. Esta situación ocurre, por ejemplo, en la figura 8–10, cuando el porcentaje de grasa corporal retrocedió en el BMI en hombres y mujeres. Es decir, la relación entre el porcentaje de grasa corporal y el BMI es similar para hombres y mujeres (pendientes iguales), pero los hombres tienden a tener niveles de porcentaje de grasa corporal más bajos en todos los BMI que las mujeres (intersección más baja para los hombres).

En la figura 8–11B, las intersecciones son iguales, pero las pendientes difieren. Este patrón puede describir, por ejemplo, la regresión del recuento de plaquetas en el número de días posteriores al trasplante de médula ósea en dos grupos de pacientes: aquellos para quienes la terapia adyuvante produce la remisión de la enfermedad subyacente, y aquellos para quienes la enfermedad permanece activa. En otras palabras, antes e inmediatamente después del trasplante, el recuento de plaquetas es similar para ambos grupos (intersecciones iguales), pero en algún momento después del trasplante, el recuento de plaquetas permanece estable para los pacientes en remisión y comienza a disminuir para los pacientes que no están en remisión (pendiente más negativa para pacientes con enfermedad activa).

En la figura 8–11C, tanto las intersecciones como las pendientes de las líneas de regresión difieren. Aunque no abordaron específicamente ninguna diferencia en las intersecciones, la relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal se parece a la situación de la figura 8–11A.

Si no existen diferencias en las relaciones entre las variables predictoras y de resultado, las líneas de regresión son similares a la figura 8–11D, donde las líneas coinciden: tanto las intersecciones como las pendientes son iguales. Esta situación ocurre frecuentemente en medicina y se considera que es el patrón esperado (la hipótesis nula), hasta que se demuestre que no se aplica, probando hipótesis o formando límites de confianza para la intersección o la pendiente (o tanto la intersección como la pendiente).

De las cuatro situaciones presentadas en la figura 8–11, se puede ver que es necesario formular tres preguntas estadísticas:

1. ¿Son iguales las pendientes?

2. ¿Son iguales las intersecciones?

3. ¿Son iguales las pendientes y las intersecciones?

Se pueden utilizar pruebas estadísticas basadas en la distribución t para responder las dos primeras preguntas; estas pruebas se explican en Kleinbaum y Klein (2010). Sin embargo, los autores señalan que para responder a estas preguntas el enfoque preferido es utilizar modelos de regresión para más de una variable independiente, un procedimiento llamado regresión múltiple, para responder a estas preguntas. El procedimiento consiste en agrupar las observaciones de ambas muestras de sujetos (p. ej., observaciones de hombres y mujeres) y calcular una línea de regresión para los datos combinados. Otros coeficientes de regresión indican si importa a qué grupo pertenecen las observaciones. Luego se selecciona el modelo más simple.

Algunas de las características de la correlación y la regresión se han señalado a lo largo de las discusiones de este capítulo, y se recapitulan aquí, también se mencionan otras características. Un punto importante que vale la pena reiterar es que la correlación y la regresión describen solo relaciones lineales. Si los coeficientes de correlación o las ecuaciones de regresión se calculan a ciegas, sin examinar los gráficos de los datos, los investigadores pueden pasar por alto relaciones muy sólidas, pero no lineales.

Análisis de residuos

Un procedimiento útil para evaluar el ajuste de la ecuación de regresión es el análisis de residuos (Pedhazur, 1997). Se calculan los residuos luego de encontrar la diferencia entre el valor real de Y y el valor predicho de Y′, o Y − Y′, aunque no se usa el término. Un residual es la parte de Y que no predice X (la parte que queda o el residual). Los valores residuales en el eje Y se representan frente a los valores X en el eje X. La media de los residuos es cero y, debido a que la pendiente se ha restado en el proceso de cálculo de los residuos, la correlación entre ellos y los valores de X debe ser cero.

Dicho de otra manera, si el modelo de regresión proporciona un buen ajuste a los datos, como en la figura 8–12A, los valores de los residuos no están relacionados con los valores de X. Una gráfica de los residuos y los valores de X en esta situación se asemejan a una dispersión de puntos correspondientes a la figura 8–12B en la que no existe correlación entre los residuos y los valores de X. Si, por el contrario, se produce una relación curvilínea entre Y y X, como en la figura 8–12C, los residuos son negativos, tanto para valores pequeños como grandes de X, porque los valores correspondientes de Y caen por debajo de una línea de regresión trazada a través de los datos. Sin embargo, son positivos para valores medianos de X porque los valores correspondientes de Y caen por encima de la línea de regresión. En este caso, en lugar de obtener una dispersión aleatoria, obtenemos una gráfica como la curva de la figura 8–12D, con los valores de los residuos relacionados con los valores de X. Los estadísticos pueden utilizar otros patrones para ayudar a diagnosticar problemas, como la falta de varianzas iguales o varios tipos de no linealidad.

Utiliza el archivo de datos y R para producir un gráfico de residuos para los datos de Neidert et al (2016). ¿Cuál de las cuatro situaciones de la figura 8–12 es más probable? (véase el ejercicio 8).

Manejo de observaciones no lineales

Se pueden tomar varias acciones alternativas si surgen problemas graves con la no linealidad de los datos. Como discutimos anteriormente, una transformación puede hacer que la relación sea lineal, y luego se pueden usar métodos de regresión regulares en los datos transformados. Otra posibilidad, especialmente para una curva, es ajustar una línea recta a una parte de la curva y una segunda a otra parte de la curva, un procedimiento llamado regresión lineal por pedazos (regresión lineal segmentada). En esta situación, se usa una ecuación de regresión con todos los valores de X menores que un valor dado, y la segunda ecuación se usa con todos los valores de X mayores que el valor dado. Una tercera estrategia, también útil para las curvas, es realizar una regresión polinomial; esta técnica se analiza en el capítulo 10. Por último, se pueden utilizar enfoques más complejos denominados regresión no lineal (Snedecor y Cochran, 1989).

Regresión hacia la media

El fenómeno llamado regresión hacia la media ocurre a menudo en la investigación aplicada y puede pasar desapercibido. Un buen ejemplo de regresión hacia la media ocurrió en el estudio del Grupo de Investigación de Ensayos de Intervención de Factores de Riesgo Múltiple (MRFIT, Multiple Risk Factor Intervention Trial Research Group; Gotto, 1997), que fue diseñado para evaluar el efecto de la dieta y el ejercicio sobre la presión arterial en hombres con hipertensión leve. Para ser elegible para participar en el estudio, los hombres debían tener una presión arterial diastólica de ≥ 90 mmHg. Los sujetos elegibles fueron luego asignados al brazo de tratamiento del estudio, que consistía en programas para fomentar una dieta y ejercicio adecuados, o al brazo testigo, que consistía en cuidados típicos.

Para ejemplificar el concepto de regresión hacia la media, se consideran los datos hipotéticos del cuadro 8–6 para la presión arterial diastólica en 12 hombres. Si estos hombres fueran evaluados para el estudio MRFIT, solo se aceptarían los sujetos del 7 al 12; los sujetos 1 a 6 no serían elegibles porque su presión diastólica inicial es < 90 mmHg. Suponga que todos los sujetos tuvieron otra medición de presión arterial algún tiempo después. Debido a que la presión arterial de una persona varía considerablemente de una lectura a otra, se puede esperar que aproximadamente la mitad de los hombres tengan presión arterial más alta y aproximadamente la mitad tenga presión arterial más baja, debido a variaciones aleatorias. La regresión hacia la media nos dice que aquellos hombres que tuvieron presiones más bajas en la primera lectura tienen más probabilidades de tener presiones más altas en la segunda lectura. De manera similar, los hombres que tenían una presión arterial diastólica ≥ 90 en la primera lectura tienen más probabilidades de tener presiones más bajas en la segunda lectura. Si se vuelve a medir toda la muestra de hombres, los aumentos y disminuciones tienden a cancelarse entre sí. Sin embargo, si solo se examina de nuevo a un subconjunto de los sujetos, por ejemplo, los hombres con presiones diastólicas iniciales > 90, las presiones sanguíneas parecerán haber descendido, cuando en realidad no es así.

La regresión hacia la media puede dar como resultado que un tratamiento o procedimiento parezca valioso cuando no ha tenido un efecto real; el uso de un grupo testigo ayuda a protegerse contra este efecto. Los investigadores del estudio MRFIT eran conscientes del problema de la regresión hacia la media y discutieron las precauciones que tomaron para reducir su efecto.

Errores comunes en la regresión

Un error en el análisis de regresión ocurre cuando múltiples observaciones sobre el mismo tema se tratan como si fueran independientes. Por ejemplo, considérense diez pacientes a los que se les registra el peso y las medidas de los pliegues cutáneos antes de comenzar una dieta baja en calorías. Podemos esperar razonablemente una relación moderadamente positiva entre el peso y el grosor del pliegue cutáneo. Ahora suponga que los mismos diez pacientes se pesan y se vuelven a medir después de seis semanas de dieta. Si los 20 pares de medidas de peso y pliegues cutáneos se tratan como si fueran independientes, se producen varios problemas. Primero, el tamaño de la muestra parecerá ser 20 en lugar de 10, y es más probable que se concluya que es significativo debido al aumento del poder estadístico. En segundo lugar, porque la relación entre el peso y el grosor de los pliegues cutáneos en la misma persona es algo estable a través de cambios menores de peso, usando ambas medidas antes y después de las observaciones de la dieta, tiene el mismo efecto que utilizar mediciones duplicadas, y esto da como resultado una correlación mayor de lo que debería ser.

La magnitud de la correlación también puede aumentarse erróneamente tras combinar dos grupos diferentes. Por ejemplo, considere la relación entre la altura y el peso. Suponga que se registran las alturas y pesos de diez hombres y diez mujeres, y se calcula la correlación entre la altura y el peso para las muestras combinadas. La figura 8–13 muestra cómo podría verse la gráfica de dispersión e indica el problema que resulta de combinar hombres y mujeres en una muestra. La relación entre altura y peso parece ser más significativa en la muestra combinada que cuando se mide en hombres y mujeres por separado. Gran parte de la aparente importancia se debe a que los hombres tienden a pesar más y a ser más altos que las mujeres. Las conclusiones inapropiadas pueden resultar de la mezcla de dos poblaciones diferentes, un error bastante común a tener en cuenta en la literatura médica.

Comparación de la correlación y la regresión

La correlación y la regresión tienen algunas similitudes y algunas diferencias. Primero, la correlación es independiente de la escala, pero la regresión no lo es; es decir, la correlación entre dos características, como la altura y el peso, es la misma si la altura se mide en centímetros o pulgadas y el peso en kilogramos o libras. Sin embargo, la ecuación de regresión que predice el peso en función de la altura depende de las escalas que se utilicen; es decir, predecir el peso medido en kilogramos a partir de la altura medida en centímetros da valores diferentes para la intersección (a) y la pendiente (b), que si se predice el peso en libras por la altura en pulgadas.

Una consecuencia importante de la independencia de escala en la correlación es que la existente entre X e Y es la misma que la correlación entre Y′ e Y. Son iguales porque la ecuación de regresión en sí, Y′ = a + bX, es un simple cambio de escala de la variable X; es decir, cada valor de X se multiplica por un valor constante b y luego se suma la constante a. El hecho de que la correlación entre las variables originales X e Y sea igual a la correlación entre Y e Y′ proporciona una alternativa útil para probar la significancia de la regresión, como veremos en el capítulo 10. Finalmente, la pendiente de la recta de regresión tiene el mismo signo (+ o −) que el coeficiente de correlación (véase ejercicio 10). Si la correlación es cero, la línea de regresión es horizontal con una pendiente de cero. Por tanto, las fórmulas para el coeficiente de correlación y el coeficiente de regresión están estrechamente relacionadas. Si r ya se ha calculado, se puede multiplicar por la relación entre la desviación estándar de Y y la desviación estándar de X, SD_Y/SD_X para obtener b (véase el ejercicio 9). Por lo tanto:

De manera similar, si se conoce el coeficiente de regresión, r se puede encontrar mediante:

Regresión múltiple

El análisis de regresión múltiple es una generalización directa de la regresión simple para aplicaciones en las que se utilizan dos o más variables independientes (explicativas) para predecir un resultado. Por ejemplo, en la regresión simple, se relacionan el BMI y el porcentaje de grasa corporal. Sin embargo, también podemos controlar la edad del sujeto. Los resultados de dos análisis se dan en el cuadro 8–7. Primero, la regresión se realizó con el BMI para predecir la sensibilidad a la insulina entre las mujeres con hipertiroidismo; la ecuación resultante fue:

A continuación, se repitió la regresión utilizando tanto el BMI como la edad como variables independientes. Los resultados fueron:

Como se puede ver, la adición de la variable edad tiene un efecto relativamente pequeño; de hecho, el valor de P para la edad es 0.91, lo que indica que la edad no está significativamente asociada con el porcentaje de grasa corporal en este grupo de sujetos normales.

Como punto adicional, observe que R² (llamado R-cuadrado) es 0.177 para ambas ecuaciones de regresión en el cuadro 8–7. R² se interpreta de la misma manera que el coeficiente de determinación, r², que se analiza en la sección titulada “Interpretación del tamaño de r”. Este tema, junto con la regresión múltiple y otros métodos estadísticos basados en la regresión, se analiza en detalle en el capítulo 10.

Al igual que con otros procedimientos estadísticos, es importante tener un número adecuado de sujetos en cualquier estudio que implique correlación o regresión. Se requieren fórmulas complejas para estimar tamaños de muestra para estos procedimientos, pero afortunadamente podemos usar programas de poder estadístico para hacer los cálculos.

Supóngase que Neidert et al. (2016) quisieran saber qué tamaño de muestra sería necesario para determinar si la correlación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal era superior a 0.3 con un poder estadístico de 80 %. Con el programa G*Power se ejemplifica el tamaño de muestra necesario en esta situación; la salida se da en la figura 8–15. Sería necesaria una muestra de 326 pacientes. Se podrían haber utilizado la hipótesis nula de 0.25 en lugar de 0.3. ¿Crees que el tamaño de la muestra sería el mismo? Pruébalo y verás.

Como ejemplo del análisis del poder estadístico para la regresión, considérese la ecuación de regresión para predecir el porcentaje de grasa corporal a partir del BMI (Neidert et al., 2016). Recuérdese que se encontró que un intervalo de confianza de 95 % para el coeficiente de regresión que estaba entre 0.57 y 1.37 en la muestra de 111 sujetos. Un posible escenario sería que Neidert y sus colegas quisieran saber cuántos sujetos se necesitarían para la regresión. El programa de poder estadístico G*Power encuentra el tamaño de la muestra estimando el número necesario para obtener un valor dado para R² (o r² cuando solo se usa una variable independiente) y la desviación estándar de los residuales. Un supuesto es que los investigadores quieren que la correlación entre la sensibilidad real a la insulina y la sensibilidad predicha sea de al menos 0.50, lo que produce un r² de 0.25, para lo que utilizaron el valor real de la desviación estándar de los residuos (S_Y·X=7.98). La configuración y la salida del programa G*Power se muestran en las figuras 8–14 y 8–15. En la figura 8–15 se aprecia que se necesita un tamaño de muestra de aproximadamente 21 en cada grupo, para el que se va a determinar una ecuación de regresión.

En este capítulo se utilizaron dos presentaciones de problemas para ejemplificar la aplicación de la correlación y la regresión en los estudios médicos. Los hallazgos del estudio descrito en la presentación del problema 1 demuestran la relación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal, una correlación igual a 0.42. Varios factores además del BMI afectaron la relación.

En la presentación del problema 2, Pereira et al. (2015) evaluaron cuatro dispositivos de glucosa en sangre de cabecera comercializados como dispositivos precisos para realizar esta medición. Se examinó la relación entre estos dispositivos y el método estándar mediante una prueba arterial de laboratorio. Las correlaciones observadas fueron bastante altas, oscilando entre 0.57 y 0.87. Se compararon estos dos coeficientes de correlación y se concluyó que existen diferencias estadísticas entre ellos.

También se utilizaron datos de Neidert et al. (2016) para ejemplificar la regresión, específicamente la relación entre el porcentaje de grasa corporal y el BMI para hombres y mujeres normales. Se encontraron líneas de regresión separadas para hombres y mujeres y se observó que las relaciones entre el porcentaje de grasa corporal y el BMI son diferentes en estos dos grupos de sujetos.

Los diagramas de flujo del Apéndice C resumen los métodos para medir una asociación entre dos características medidas en los mismos sujetos. El diagrama de flujo C-4 indica cómo los métodos dependen de la escala de medición de las variables, y el diagrama de flujo C-5 muestra los métodos aplicables para probar diferencias en correlaciones y líneas de regresión.

1. 

   1. Realiza una prueba de chi-cuadrada de la significación de la relación entre el uso de benzodiazepinas y el desarrollo posterior de la enfermedad de Alzheimer utilizando los datos del capítulo 3, Cuadro 3–19.

   2. Determina los límites de confianza de 95 % para el riesgo relativo de enfermedad de Alzheimer entre sujetos con una dosis diaria de benzodiazepina utilizando los datos del cuadro 3–19. ¿Cuál es tu conclusión?

2. Calcula la correlación entre el BMI y el porcentaje de grasa corporal para toda la muestra de 71 mujeres de Neidert et al. (2016), utilizando los resultados de la sección “Cálculo de la ecuación de regresión”, para b. La desviación estándar del BMI es 3.80 y el porcentaje de grasa corporal es 6.54.

3. Helmrich et al. (1987) realizaron un estudio para evaluar el riesgo de trombosis venosa profunda y embolia pulmonar en relación con el uso de anticonceptivos orales. Estaban especialmente interesados en el riesgo asociado con dosis bajas (< 50 μg de estrógeno) y limitaron su estudio a mujeres < 50 años. Administraron cuestionarios estándar a mujeres ingresadas en el hospital por trombosis venosa profunda o embolia pulmonar, así como a un grupo testigo de mujeres ingresadas por trauma e infecciones de las vías respiratorias superiores para determinar su historial y uso actual de anticonceptivos orales. Veinte de los 61 casos y 121 de los 1278 testigos habían utilizado anticonceptivos orales en el mes anterior.

   1. ¿Qué diseño de investigación se utilizó en este estudio?

   2. Encuentra límites de confianza de 95 % para la razón de momios de estos datos.

   3. Los autores reportaron una razón de momios ajustada por edad de 8.1 con límites de confianza de 95 % de 3.7 y 18. Interpreta estos resultados.

4. En la presentación del problema 2, en el capítulo 3, de Bos-Touwen et al. (2015) midieron las puntuaciones de activación del paciente, las variables demográficas y las psicosociales. Utiliza los datos de este estudio y selecciona o filtra aquellos sujetos con sexo = 1 (hombres) y enfermedad = 2 (EPOC); deben quedar 184 sujetos para el análisis.

   1. Calcula la correlación entre la puntuación de percepción de la enfermedad (IPQ_Total_score) y la puntuación SF-12 (SF12_total_score) para hombres con EPOC.

   2. Construye un intervalo de confianza de 95 % para esta correlación.

5. Los gráficos de la figura 8–16 se crearon en Excel con los datos de Neidert et al. (2016).

   1. ¿Qué gráfica exhibe la relación más fuerte con la edad?

   2. ¿Qué variable se predeciría mejor a partir de la edad de un paciente?

6. Explica por qué la media de los valores predichos, $Y′¯$ es igual a $Y¯$.

7. Desarrolla un argumento intuitivo para explicar por qué el signo del coeficiente de correlación y el signo de la pendiente de la recta de regresión son iguales.

8. Ejercicio en grupo. El estudio MRFIT (Multiple Risk Factor Intervention Trial Research Group, 1982) se ha denominado un ensayo histórico; fue el primer ensayo clínico a gran escala, y es raro tener un estudio que siga a más de 300 000 hombres que fueron evaluados para el ensayo durante varios años. La Revista de la Asociación Médica Estadounidense (The Journal of the American Medical Association) reimprimió este artículo en 1997. Además, publicó un comentario en la sección Landmark Perspective de Gotto (1997). Obtén una copia de ambos artículos.

   1. ¿Qué diseño de investigación se utilizó en el estudio?

   2. Discute los criterios de elegibilidad. ¿Siguen siendo relevantes estos criterios hoy en día?

   3. ¿Cuáles fueron los brazos de tratamiento? ¿Estos tratamientos siguen siendo relevantes hoy en día?

   4. ¿Qué métodos estadísticos se utilizaron? ¿Fueron apropiados? El método del límite de producto de Kaplan-Meier se analiza en el capítulo 9.

   5. Consulte la figura 1 del estudio original. ¿Qué indican las líneas de la figura?

   6. Examina la distribución de muertes dada en el cuadro 4 del artículo. ¿Qué método estadístico es relevante para analizar estos resultados?

   7. La perspectiva de Gotto analiza el tema del poder estadístico en el estudio MRFIT. ¿Cómo se vio afectado el poder estadístico del estudio por las suposiciones iniciales hechas en el diseño del estudio?